Чтобы решить тригонометрическое уравнение, необходимо: преобразовать уравнение до простейшего вида и затем решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение.
Привести уравнение к простейшему виду можно несколькими способами.
Алгоритм:
Пример: Решить уравнение 2cos2x+5sinx=5
2(1-sin2x)+5sinx=5
2sin2x+5sinx+3=0
Делаем замену sin2x=t, тогда
2t2+5t+3=0
t1=1
t2=32
Делаем обратную замену. Поскольку -1sinx1, то корень t2=32 не подходит. Следовательно осталось решить sinx=1.
x=2+2n, nZ. Это и будет ответом.
Очень хорошо, если уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.
Алгоритм:
Пример: Решить уравнение sin3x+sin7x=2sin5x
Применим формулу суммы синусов 2sin5xcos2x=2sin5x
2sin5xcos2x-2sin5x=0
2sin5x(cos2x-1)=0
Имеем совокупность из двух уравнений, которые решим по отдельности:
2sin5x=0 x=n5, nZ
cos2x-1=0 x=n, nZ
Заметим, что x=n является частью x=n5, если рассматривать тригонометрическую окружность. Тогда ответ будет x=n5, nZ .
Рассмотрим уравнение: sin2x+2sinxcosx-3cos2=0.
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене a2+2ab-3b2степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на . Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?
Запомни: Предположим, что cosx=0. Тогда в силу уравнения и sinx=0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx0, и мы можем поделить обе его части на cos2x.
В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:
tg2x+2tgx-3=0
Авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий.