Свойства сторон и углов треугольника

Редакция Без Сменки
Честно. Понятно. С душой.

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c

b + c > a

c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a b c = 2R
sin α sin β sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α

b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β

c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a=2/3√2(mb2 + mc2) — ma2

b=2/3√2(ma2 + mc2) — mb2

c=2/3√2(ma2 + mb2) — mc2

Биссектрисы треугольника

Определение.

Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.
  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
    AEAB = ECBC
  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
    Угол между lc и lc‘ = 90°
  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√bcp(pa)/b + c

lb = 2√acp(pb)/a + c

lc = 2√abp(pc)/a + b

где p = a + b + c/2  — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2bc cosα2b + c

lb = 2ac cosβ2a + c

lc = 2ab cosγ2a + b

 

Где вы учитесь?

Вам также будет интересно

Лирика Фета
Самое важное из лирики Фета собрали для тебя на картинке
Суффиксы существительных -ance, -ence, -ancy, -ency
❗️Что про них нужно знать? 1. Это суффиксы существительных 2. Эти суффиксы имеют значение состояния или свойства от глаголов или прилагательных ...
Гипофизарные болезни
С гормонами, как и со всем в нашей жизни: всего хорошо в меру. Без них (гипофункция железы) организм разваливается, все органы работают...
Взаимодействие аллельных генов
Аллельные гены — гены, занимающие одинаковое положение (локус) в гомологичных хромосомax и отвечающие за альтернативные проявления одного признака....
Правление Софьи Алексеевны [1682—1689]
Софья Алексеевна была одной из дочерей Алексея Михайловича. В 1682 году произошел стрелецкий бунт 👹 В Москве не все были довольны молодым Петром...
Средняя скорость
Средней скоростью движения тела называется отношение пути S, пройденного телом, ко времени t, в течение которого двигалось тело: 🖇 Научимся ее...

0 комментария

Авторизуйтесь, чтобы оставить комментарий.